Una variable aleatoria continua, X, sigue una distribución normal de media μ y desviación típica σ, y se designa por N(μ, σ), si se cumplen las siguientes condiciones:
1. La variable puede tomar cualquier valor: (-∞, +∞)
2. La función de densidad, es la expresión en términos de ecuación matemática de la curva de Gauss:
Curva de la distribución normal.
- El campo de existencia es cualquier valor real, es decir, (-∞, +∞).
- Es simétrica respecto a la media µ.
- Tiene un máximo en la media µ.
- Crece hasta la media µ y decrece a partir de ella.
- En los puntos µ − σ y µ + σ presenta puntos de inflexión.
- El eje de abscisas es una asíntota de la curva.
El área del recinto determinado por la función y el eje de abscisas es igual a la unidad.
Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área igual a 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha.
La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva.
Estas son unas de las características que debe de cumplir para una distribución de probabilidad normal:
1.la distribución normal es simétrica, por lo cual la mitad de las observaciones o datos están por debajo de la media y la otra mitad se encuentran por encima de la media.
2.la media, la mediana y la moda de los datos de la distribución coinciden.
3.la distribución se extiende en forma asintótica sobre el eje horizontal.
4.para cualquier distribución se pueden conocer las proporcione de datos o probabilidades, en función del numero de desviaciones estándar, que se encuentran representadas en el eje horizontal. En general debe de cumplir con la siguiente:
p(μ - σ < X ≤ μ + σ) = 0.6826 = 68.26 %
p(μ - 2σ < X ≤ μ + 2σ) = 0.954 = 95.4 %
p(μ - 3σ < X ≤ μ + 3σ) = 0.997 = 99.7 %
Ejemplo:
Si X es una variable aleatoria de una distribución N(µ, σ), hallar: p(µ−3σ ≤ X ≤ µ+3σ)
Es decir, que aproximadamente el 99.74% de los valores de X están a menos de tres desviaciones típicas de la media.
Grafica:
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